平成27年度北海道高校入試数学の大問2の問題・解説を掲載しています。
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問1 a = 3, b = -2 のとき、16a2b ÷ ( -4a ) の値を求めなさい
模範解答であれば、まずは式の計算を行います。計算ミスの可能性が減ります。
16a2b ÷ ( -4a ) = -4ab と計算します。
この式に a = 3, b = -2 を代入すると、-4 × 3 × ( -2 ) = 24 と計算できます
しかし、計算に自信があり体力もありあまっている中学生ですから、最初から式に値を代入し計算しても問題ないでしょう。
16 × 3 × 3 × ( -2 ) ÷ ( -4 × 3 ) = ( -288 ) ÷ ( -12 ) = 24
問2 方程式 6x + 5y = 2x + 3y = 4 を解きなさい
では、次の問題です。1行で式が書いてありますが、ばらばらに書くと以下の連立方程式と同じことです。
6x + 5y = 4 ・・・ ①
2x + 3y = 4 ・・・ ②
式②を3倍して、①から引きます。
6x + 5y = 4 ・・・ ①
6x + 9y = 12 ・・・ ② × 3
x がなくなって
-4y = -8 となりますので、
y = 2 となります。
次に y = 2 を式①に代入して x を求めます。
6x + 5 × 2 = 4
6x + 10 = 4
6x = -6
x = -1 が求まります。
問3 下の図のように、x 軸, y 軸とそれぞれ点 A, B で交わる直線①があります。点 O は原点とします。点 B の y 座標が 4, △ OAB の面積が 10 のとき直線①の式を求めなさい。
まずは、わかっていることを整理します。
OB の長さは 4 であり、△ OAB の面積は 10 です。三角形の面積は 底辺 × 高さ ÷ 2 で求めることができますので、この式から OA の長さ ( A の x 座標 ) がわかります。
4 × OA ÷ 2 = 10
OA = 5 が求まりました。
あとは、B ( 0, 4 ) 、A ( 5, 0 ) を通る直線の式を求めれば OK です。
直線①は y = ax + 4 までは現在わかっていますので、
A の座標を①に代入します。
0 = 5a + 4
5a = -4
a = – 4 / 5 となりますので、式①は
y = ( – 4 / 5 ) x + 4
となります。
問4 下の図のように、∠A = 90° の直角三角形 ABC があります。辺 BC 上に、点 B と異なる点 P をとり、△ ABC と △ PAC が相似となるようにします。点 P を定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし、点を示す記号 P を書き入れ、作図に用いた線は消さないこと。
相似になるような 点 P は A から BC へ垂線を引けばよいことがわかります。解答例は以下の通りです。
問5 下の表は、A中学校の野球部全員の 50 m 走の記録を調査し、度数分布表にまとめたものです。表の ア、イに当てはまる数を、それぞれ書きなさい。また、この度数分布表から、野球部全員の 50 m 走の記録の平均値を求めなさい。
5秒台がいなくて残念です。では、張り切って問題を見ていきましょう。
まず度数分布表から野球部は全員で50人いることがわかります。度数(人) の計が 50 です。また、全員のタイムの合計が 370 であることもわかります。このことは、この表から瞬時に見抜く必要があります。
つまり、370 ÷ 50 = 7.4 秒が野球部全員の平均値となります。ア や イ を求める必要もなく、求めることができました。
次に ア を求めてみます。以下の式で求めることができます。
2 + 5 + 13 + ア + 10 + 5 + 3 = 50 なので、
ア = 12 です。
ア × 7.4 = イ なので、
イ = 88.8 がわかります。
もちろん イ も ア と同様に、縦に足して合計が 370 であることから求めても間違いではありません。ただ、計算が面倒なだけです。