[ 高校数学 ] 余角( 90° – θ ) 補角( 180° – θ ) の三角比公式を図で理解する

ここでは、余角( 90° – θ ) と補角( 180° – θ ) の三角比の公式について説明します。

余角の三角比公式

はじめに余角の公式を見てみましょう。

• sin ( 90° – θ ) = cos θ
• cos ( 90° – θ ) = sin θ
• tan ( 90° – θ ) = 1 / tan θ

サイン ( sin ) ⇔ コサイン ( cos ) が入れ替わり、タンジェント ( tan ) は逆数と等しい公式です。下の図で確認すると sinθ は y 軸の値、cos θ は x 軸の値であることから公式の意味が図形で理解できます。

sin と cos の関係は、赤線と青線の長さが等しく、符号( プラス・マイナス )も変化しないことがわかります。図形で見るとわかりやすいのではないでしょうか。

次はタンジェント ( tan ) を計算してみます。

tan ( 90° – θ ) = sin ( 90° – θ ) / cos ( 90° – θ ) ですが、

sin ( 90° – θ ) = cos θ
cos ( 90° – θ ) = sin θ

がわかっていますので、代入すると

tan ( 90° – θ ) = cos θ  / sin θ = 1 / tan θ

が導けます。

補角の三角比公式

次は補角の三角比について見ていきます。まずは公式を確認します。

• sin ( 180° – θ ) = sin θ
• cos ( 180° – θ ) = – cos θ
• tan ( 180° – θ ) = – tan θ

sin の場合は同じで、cos と tan については符号が入れ替わっています。これも先ほどの図からどのようなことを表現しているのか、確認してみます。

sin θ と sin ( 180° – θ ) は符号も同じで値も同じであることがわかります。cos と tan は大きさは同じですが、符号（プラス･マイナス）が異なっていることが一目瞭然です。

グラフを使った確認方法を理解していることで、公式を忘れたとしても簡単に公式を導出できるようになります。公式だけを丸暗記する覚え方はお薦めできません。

この他にも sin ( 180° + θ ) や cos ( 270° + θ ) などを θ を使って変形できるようになっておくと、さらによいでしょう。

sin²θ + cos²θ = 1

有名なこの式ですが、これもグラフで確認できますので紹介します。ピタゴラスの定理 ( 三平方の定理 ) を利用します。

上記の単位円の半径は 1 ですので、ピタゴラスの定理より

sin²θ + cos²θ = 1² = 1

を導出することができます。

グラフや図形で覚えると忘れにくいと思います