[ 高校数学 ] 2直線を表す方程式を求める問題

2直線を表す方程式について考えてみたいと思います。そもそも2直線を表す方程式とはどのようなものでしょうか。それは、以下のような方程式です。

2直線を表す方程式 : (ax + by + c) (dx + ey + f) = 0

上記のように直線を表す方程式の積で、2直線を表すことができます。では、このことを利用するよくある例題を確認していきたいと思います。

問題

2x² + kxy – 12y² + x + 7y – 1 = 0 が２直線を表わすように定数 k の値を求めよ。

解答

2x² + kxy – 12y² + x + 7y – 1 = 0 が、2直線を表す方程式の形 (ax + by + c) (dx + ey + f) = 0 に因数分解できることができるように定数 k を求めていきます。

2x² + kxy – 12y² + x + 7y – 1 = 0

を x について整理します。

2x²  + (ky + 1)x + ( – 12y²  + 7y – 1) = 0　・・・　①

上記の式は、x について、ax²  + by + c = 0 の形に整理した式です。次に解の公式を見てみましょう。

①式の解が、x が y の１次式となるには、根号が１次式として外れることが必要十分条件となります。すなわち根号内の

D = b²  – 4ac

= (ky + 1)²  – 4×2( – 12y²  + 7y – 1)

= (k²  + 96)y²  + 2(k – 28)y + 9

が y の完全平方式でなければいけません。y の完全平方式であれば、= 0 としたときに重解(実数解が1つ)を持ちますので、

(k²  + 96)y²  + 2(k – 28)y + 9 = 0　・・・　②

が重解を持つように k を求めることになります。

ここで再度、解の公式の登場です。②式が重解を持つのであれば、根号内 b²  – 4ac = 0 ですので、

{2(k – 28)}²  – 4 × (k²  + 96) × 9 = 0

となり、展開および整理すると

k²  + 7k + 10 = 0

(k + 5) (k + 2) = 0

よって、k = -5, -2 が求まります。

ポイント

• 完全平方式 ⇔ = 0 としたとき重解をもつ
• 重解を持つということは、判定式 D = 0 ( b²  – 4ac = 0 )

例） y が重解を持つような2次方程式

(ay – b)²  = 0

y = b / a の重解を持ちます。

 

解の公式が大活躍しました。「申」が始まりました。良い1年になりますように。