[ 数ⅢC ] 無限等比級数の発散と収束とその証明

無限等比数列

a, ar, ar², ar², ar³, ・・・ ,ar^n-1, ・・・

を項とする級数

a + ar + ar² + ar² + ar³ + ・・・ + ar^n-1 + ・・・

を無限等比級数といい、無限等比級数の収束と発散については次のことが成り立ちます。

無限等比級数の収束と発散

初項 a, 公比 r の無限等比級数

a + ar + ar² + ar² + ar³ + ・・・ + ar^n-1 + ・・・

では、

①　a = 0 のとき、収束して和は 0

②　a ≠ のとき

　|r| < 1 のときは収束して和は a / ( 1 – r ) 

　|r| ≧ 1 のとき発散する

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証明

上記の②について証明してみます。

a ≠ 0 のとき、この級数の部分和を S_n とすると、

〇 r ≠ 1 のとき
S_n = a + ar + ar² + ・・・ + ar^n-1 = a(1 – rⁿ) / (1 – r)

〇 r = 1 のとき
S_n = a + ar + ar² + ・・・ + ar^n-1 = na

ここで、

● -1 < r < 1 のとき

rⁿ → 0 ( n → ∞ ) なので、

S_n = a / (1 – r) – arⁿ / (1 – r ) → a / (1 – r) ( n → ∞ )

● r ≦ 1、r > 1 のとき

｛ rⁿ ｝ は発散するから ｛ S_n ｝も発散する

● r = 1 のとき

a ≠ 0 であるので、|na| → ∞ ( n → ∞ )

従って、｛ S_n ｝は発散する

 

練習問題

無限等比級数 sin x + sin² x + sin³ x + sin⁴ x + ・・・ が収束するように x の範囲を定め、その和を求めよ。

解答例

[ sin x = 0 のとき ]

この級数は 0 + 0 + 0 + ・・・ となるから、0 に収束します。このとき sin x = 0 より

x = n π （ n は整数 ）となります。

[ sin x ≠ 0 のとき （ x ≠ n π ） ]

公比は sin x なので、収束条件は -1 < sin x < 1

よって、x ≠π / 2 + n π　（ n は整数 ）

また、x ≠ n π より x ≠ n π / 2 ( n は整数 )

このとき和は sin x / (1 – sin x)

以上より、

x = n π ( n は整数 )のとき、0 に収束する

x ≠ n π / 2 ( n は整数 )のとき、sin x / (1 – sin x) に収束する

 

まさおが一句

一生で正月勉強これ最後！