ここでは、累乗数の1の位と最高位の数および桁数について考えてみようと思います。高校生であれば当たり前かもしれませんが、管理人は違います。ゆっくり考えていきたいと思います。ヤフー知恵袋で投稿されていましたが、何が書いてあるのかわかりませんでしたので整理していきます。また、未解決問題でもあったようですが、質問者さんのその後が気になります。
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問題
A = 1260 とするとき、
(1) A の一の位の数字を答えよ。
(2) A は何桁の整数か。
(3) A の最高位の数字を求めよ。
ただし,log102 = 0.3010,log103 = 0.4771とする.
(1) A の一の位の数字を答えよ
1の位の数字は必ず循環することはわかりますし、常に累乗する数字(12)の1の位のみに着目すれば良いことがわかります。
2n | 1の位の数 |
---|---|
20 | 1 |
21 | 2 |
22 | 4 |
23 | 8 |
24 | 6 |
25 | 2 |
26 | 4 |
n ≧ 1 の条件においては、1の位の数字は 2(21) ⇒ 4(22) ⇒ 8(23) ⇒ 6(24) の規則で循環していることがわかります。 ここで、以下のように一般化して考えてみることにします。
n = 1, 5, 9, ・・・ 4k – 3 ( k ≧ 1) 1の位は 2
n = 2, 6, 10, ・・・ 4k – 2 ( k ≧ 1) 1の位は 4
n = 3, 7, 11, ・・・ 4k – 1 ( k ≧ 1) 1の位は 8
n = 4, 8, 12, ・・・ 4k ( k ≧ 1) 1の位は 6
260 = 24×15 となりますので、1の位は 6 であることがわかりました。
(2) A は何桁の整数か。
次は桁数を求めてみます。そもそも桁数は下表の数値になった場合に桁数が1つ上がることがわかります。
10n | 桁数 |
---|---|
100 (1) | 1 |
101 (10) | 2 |
102 (100) | 3 |
103 (1000) | 4 |
104 (10000) | 5 |
このことから、103 ≦ N < 104 となる集合N 例えば 103.123 は4桁の数値であることがわかります。つまり、今回の問題だと、1260 が 10 の何乗であるかがわかれば、桁数がわかりことになります。
log101260 = 60 log1012
= 60 (2 log102 + log103)
= 60 (2 × 0.3010 + 0.4771) = 64.746
よって 1260 = 1064.746 です。
つまり、1064 ≦ 1260 < 1065 であることから 65 桁であることがわかりました。
(3) A の最高位の数字を求めよ。
次に最高位の数字を求めてみますが、まずは最高位の数字はどのようなものになるのかを考えて見ます。例えば 3422 の場合は 3.422 × 103 であり、最高位の数字は 3 であり、4桁の数字です。つまり、今回の問題では、1260 の最初の数字がわかればよいことになります。
(2) で、1260 = 1064.746 であることがわかっていますので、分解してみます。
1064.746 = 100.746 × 1064 ですので 100.746 だけを考えればよいことがわかりました。
あとは、大体目星をつけて計算していくことになりますが、この問題では以下の常用対数を計算する必要があります。
- log105 = log10(10 / 2) = 1 – log102 = 0.6990 より 100.6990 = 5
- log106 = log102 + log103 = 0.7781 より 100.7781 = 6
このことから
100.6990 < 100.746 < 100.7781
となりますので、問題の 1260 の最高位の数字は 5 であることがわかりました。最高位以外の数字は残念ながらわかりません。
ちょっと疲れました。なお、この問題については解き方を記憶しておくと良いですね。
なるほど分かりやすかったです!
1の位の数を求める場合、もう少しややこしい形のときはどうするんでしょう??
10^210/(10^10+3)というかずの1のくらいって、循環するんでしょうかね?