[ 面白数学雑学 ] モンティ・ホール確率問題と必殺ギャンブラー

ここでは、モンティーホール問題を使って確率について考えてみることにします。小学生から中学生～大人まで確率の面白さに気づくことができるでしょう。

モンティー・ホール問題

3枚のガードがあります。1枚がアタリで2枚がハズレです。アタリがでたら高級車レクサスがあたります。防弾ガラス仕様です。しかし、ハズレがでたらあなたのスマホは破壊の鉄球により粉砕されるものとします。

あなたは、防弾ガラスがどうしても必要なのでこの勝負をやります。大切な iPhone が破壊されることに多少抵抗がありますが勝負します。

あなたは1枚選びました。このときディーラーのモンティー・ホールさんが1枚のハズレをあなたに見せてこう言います。

「選んでいるのカードをもう1枚のカードに変えてもいいよ。」

このとき、モンティー・ホールさんはイカサマも何もしていません。ただ、ハズレカードがどれかを知っているだけです。さて、あなたは変えたほうが良いでしょうか？変えないほうが良いでしょうか？

これがモンティ・ホール問題です。

説明

変えたほうがアタリの確率が2倍になります。確率で考えると変えたほうがアタリをひく確率が高いということです。しかし、変えることによってハズレになったり、変えないことでアタリとなるかもしません。しかし、それは勝負の話です。

ここからは、勝負の話ではなくて確率の話をしていくことにします。

1枚を選んで、ハズレのカードを見せられて、モンティー・ホールさんがみのもんたみたいな顔して「変えてもいいよ」と言っているのが今の状態です。

みのもんたのくだりは無視してください。すいません。茶化しました。

今は2枚のカードから1枚選ぶって状態だから変えても変えなくてもアタリが出る確率は変わらないんじゃないと思われるかもしれませんが、それは間違いです。気持ちはわかりますけど、間違いです。直感的にそう思われるかもしれませんが、その直感も間違いです。

「間違い、間違い」連呼しました。失礼しました。

下の図を見て下さい。あなたの確率は 1 / 3 のままです。当然ですが、1 / 2 に変わっていません。しかし、もう1枚のカードを選ぶことによって1枚ではなく2枚のカードを選んだことと同じ状況が生まれるのです。

元々すべてのカードのアタリが出る確率はそれぞれ 1 / 3 です。モンティー･ホールさんが見せたハズレのカードもアタリの確率は 1 / 3 です。カードを変えることによって2枚選んだうちの1枚がハズレだったという状況になります。これでアタリの確率が 1 / 3 から 2 / 3 へと2倍にアップしました。

納得できない

それでも納得できない場合は、10枚のカードを考えて見ましょう。もちろん 100枚でも1000枚でも問題ありません。あなたは1枚だけがアタリである10枚のカードから1枚を選択しました。ここで、みのもんたが8枚のハズレくじを見せます。あなたは残っている2枚のカードのうちあなたが選んだカードともう1枚のカードではどちらがアタリである確率が高いと思いますか。

3枚から10枚に設定を変えるだけで、理解できたのではないかと思います。

さて、今回のアタリは？

あなたが当初選んだカードがアタリでした。あなたはカードを変えましたか？変えませんでしたか？あなたのスマホは粉砕されましたか？それとも防弾仕様のレクサスをもらえましたか？確率は確率、勝負は勝負という話です。