[ 中学数学 ] 指数法則の公式が成立する理由を考えてみよう

ここでは、指数法則の公式をがなぜ成立するのかを考えてみたいと思います。当たり前のことですが、公式としてのみ覚えているのはお薦めできません。ちょっと落ち着いて考えると当たり前のことだったりします。

なお、この記事書いている間ずっと、ゲスの極み乙女 「 私以外私じゃないの～(^^♪ 」 が頭の中でリピートされていました。

公式1  a^m × aⁿ = a^{m + n}

a⁵ × a³ = a^{5 + 3} = ( a × a × a × a × a ) × ( a × a × a ) = a⁸

ただ掛けてるだけじゃないの♪当たり前だけどね♪だから♪成り立つ

公式2  a^m / aⁿ = a^{m – n}

a⁵ / a³ = a^{5 – 3} = ( a × a × a × a × a ) / ( a × a × a ) = a²

ただ約分してるだけじゃないの♪当たり前だけどね♪だから♪成り立つ

公式3  (a ^m ) ⁿ = a ^mn

(a ⁵ ) ³ = a ^{5 × 3} = (a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a) = a¹⁵

ただ掛けてるだけじゃないの♪当たり前だけどね♪だから♪成り立つ

公式4  ( ab ) ⁿ = aⁿ bⁿ

( ab )³ = ( a × b ) × ( a × b ) × ( a × b ) = a ³ × b ³

ただ掛けてるだけじゃないの♪当たり前だけどね♪だから♪成り立つ

公式5  (a / b) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ

(a / b) ³ = (a / b) × (a / b) × (a / b) = a³ / b³

ただ掛けてるだけじゃないの♪当たり前だけどね♪だから♪成り立つ

掛けたり約分したりしてるだけです

いかがですか。公式と言うよりは、確実に覚えていたらちょっと計算が速くなる程度ではないでしょうか。公式と言うから覚えなくてはいけないと思うもしれませんが決してそんなこともありません。もちろん覚えていないと高校受験に困るような公式もありますが、全てではないです。

a⁰ を考える

中学生の履修範囲からはちょっと外れるかもしれませんが、0乗について考えてみようと思います。先ほどの公式2 を見て下さい。このときに m = n の場合について考えてみたいと思います。

a³ / a³ = a^{3 – 3} = ( a × a × a ) / ( a × a × a ) = 1 = a⁰

となります。

このとこから、a⁰ = 1 とならなければ辻褄があいません。なので、数 a の 0 乗は 1 として考えます。