[ 中学数学 ] 数の規則性 マッチ棒の本数を数えてみる

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ここでは、マッチ棒を並べて正方形を作り、数の規則性について考えてみたいと思います。

ところで最近、口の悪いゆきこから、「 テメエの頭はゴマシオだ 」 と言われております。( ;∀;)

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マッチ棒で正方形を作る

マッチ棒で正方形を作る

マッチ棒で正方形を作る

マッチ棒には見えませんが、1辺がマッチ棒1本だと思ってください。マッチ棒であるということが大変重要なポイントです(嘘)。

問題

n個の正方形を作るときにマッチ棒は何棒必要でしょうか?

解答

では、心静かに問題を解いてみましょう。まずは、1個の場合、2個の場合には一体何本必要が実際に数えてみましょう。

正方形の数必要なマッチ棒の本数
14
27
310
413

さあ、なんとなく規則性が見えてきましたね。最初は4でその後は3本ずつ使用するマッチ棒の数が増えてきています。ここから、

4 + 3 × ( n – 1 ) = 3n + 1 ただし n > 0

という規則性を見つけることができます。これは、図形的にはどのような意味を持つのでしょうか?数に正方形をちょっとずつ離して並べた図を確認してみましょう。

一目瞭然ですね。最初の1つのみ4本のマッチ棒が必要でそれ以降は3本のマッチ棒(コの字)が必要です。ここから、4 + 3 × ( n – 1 ) が導き出されます。

図形的な意味を考えてから、その規則性を式に表す、または同時に考えることが大切です。この問題においては規則性の式を元に図形的な意味を考えるようなことはナンセンスのような気もします。ただし、式から図形的な意味を考えることも多々ありますので、全部がナンセンスであると言うわけではありませんよ。誤解なさらぬよう m(__)m

やってみよう

では、視点を変えて、n個の正方形を作るときに必要な縦のマッチ棒と横のマッチ棒をの本数をそれぞれ求めて、それぞれの規則性を導くことができれば、その和も 3n + 1 になるはずです。

今回の問題でも、1つ目は4本、それ以降は3本のマッチ棒が必要と考えるよりも縦と横にそれぞれいくつのマッチ棒が必要かと考えるほうが管理人個人の考えでは綺麗なような気がします。

この際やってみます。

正方形の数縦のマッチ棒の本数横のマッチ棒の本数
122
234
346
458

いかがでしょうか。こから、n個の正方形を作るときに必要なマッチ棒の本数は、縦 n + 1 本、横 2n 本 である規則性が導かれます。従って、必要なマッチ棒の合計は n + 1 + 2n = 3n + 1 本であることがわかります。同じ結果になりましたね。考え方が正しければ結果は同じになります。みんなと同じじゃなくてもいいんです。自身を持って解いてください。

そういえば、最近マッチ棒を見る機会が減りました

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