ここでは、10進数や2進数などの桁数と数の個数や最大値の関係について掲載しています。10進、2進数から考えて、最終的に汎用的な m進数の形でその関係性を式で表現してみます。
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10進数で表現できる桁数と最大値
10進数の場合、桁数を増やしていくと、どれだけの範囲の数と種類を表現できるようになっているのかを下表にまとめてみます。日常で使用していることもあり、わかりやすいですね。
| 桁数 | 最小値 | 最大値 | 種類 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 9 | 10種類 |
| 2 | 0 | 99 | 100種類 |
| 3 | 0 | 999 | 1000種類 |
| 4 | 0 | 9999 | 10000種類 |
| ・ | |||
| n | 0 | 10n－1 | 10n種類 |
| ・ |
2進数で表現できる桁数と最大値
次に2進数の場合の桁数と最大値の関係を確認してみます。
| 桁数 | 最小値 | 最大値 | 種類 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | (1)2 = (1)10 | 2種類 |
| 2 | 0 | (11)2 = (3)10 | 4種類 |
| 3 | 0 | (111)2 = (7)10 | 8種類 |
| 4 | 0 | (1111)2 = (15)10 | 16種類 |
| ・ | |||
| n | 0 | (111・・11)2※ = (2n－1)10 | 2n種類 |
| ・ |
※1がn個並んだ数
10進数と2進数以外にも汎用的に適用する
実はこの関係は、何進数であろうと当てはまります。例えば16進数の4桁で表現できる最大値は(FFFF)16となりますが、10進数では65535(＝164)であります。
つまり、n桁のm進数で表現できる最小値は 0、最大値は mn－１(10進数での表記)である、mn種類(個)の数値を表現できるということがわかります。
片手で数を数える
例えば、片手で指を折って数を数える場合、片手では0～5までしか数えないでしょう。でもやる気になれば、0～31まで数えることができることを意味しています。わかりますか？片手を5桁の2進数だと思って指折り数えていきます。
なお、両手では10桁の2進数だと考えて「0～1023」まで数えることができますよ。但し、時間と手の器用さが要求されますが・・・がんばって試してみてください。パズドラよりも面白いかもです。