[ 高校入試過去問解説 ] 平成28年 ( 2016年 ) 埼玉県 数学

平成28年 ( 2016年 ) 埼玉県 高校入試 数学の解説を行っています。

問1

解答・解説

( 1 ) 6a × ( – 3 ) = -18a

( 2 ) 5 + ( – 14 ) ÷ 7 = 5 – 2 = 3 

( 3 ) √12 + 8√3 = 2√3 + 8√3 = 10√3

( 4 ) x² – 7x + 10 = ( x – 5 ) ( x – 2 )

x = 12 を代入して計算します。

( 12 – 5 ) ( 12 – 2 ) = 7 × 10 = 70

( 5 ) 3x² + 4x – 1 = 0

解の公式を使って x について解きます。

x = ( -2 ± √7 ) / 3

( 6 )

2x – 3y = -4  ・・・ ①
-x + 2y = 3  ・・・ ②

② を変形します

x = 2y – 3 ・・・ ②’

②’ を ① に代入します

2( 2y – 3 ) – 3y = -4

4y – 6 -3y = -4

y = 2

②’ に代入します。

x = 2 × 2 – 3 = 1

よって、x = 1, y = 2

( 7 ) x = 1 のとき、y = 3 であり、x = 3 のとき、y = 27 より

変化の割合 = ( y の増加量 ) / ( x の増加量 ) = ( 27 – 3 ) / ( 3 – 1 )

= 24 / 2 = 12

( 8 ) 円の直径は 8π であることから、扇形の面積は円の面積の 7 π / 8 π = 7 / 8 倍であることがわかります。

円の面積 = 4 × 4 × π = 16 π

よって、扇形の面積は 16 π × 7 / 8 = 14 π cm²

( 9 ) 60 の約数は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 , 15, 20, 30 でありますが、

2n + 1 は奇数なので、とりうる分母 ( 2n + 1 ) は 3, 5, 15 であることがわかります。2n + 1 = 1 のときは n = 0 となるので自然数とはならないことから除外しています。

よって、そのときの n は、n = 1, 2, 7

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解答・解説

( 10 )

ア 階級の幅は 10 cm なので間違い

イ 分布の範囲は 160 cm から 240 cm まで 80 cm より大きくはない。間違い

ウ 正しい

エ  最頻値の階級値は 225 cm で平均の 214 cm より大きいので間違い

オ 正しい。中央値を含む階級値は 225 cm であり、相対度数 = 13 / 40 = 0.325

( 11 ) ①

方程式は 29x + 410 = 33x – 30

x = ドーナッツ1個の値段 = 110 円

( 11 ) ②

6箱買うと、おまけの2個とあわせて 38個のドーナツとなり、残り2個を 1つ100円で買います。

550 × 6 + 100 × 2 = 3500

3500円

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問2

解答・解説

( 1 ) 求める確率を以下のように求めます。

1つは白玉である確率 = 1 – ( 2つとも白玉でない確率 )

6 個の玉から2つを取り出すパターンは ( 6 × 5 ) / 2 = 15 通りです。

また、2つとも白玉でないパターンは、

( 赤と青1 ) ( 赤と青2 ) ( 青1と青2 ) の3通りなので、求めるか確率は、

1 – ( 3 / 15  ) = 12 / 15 = 4 / 5 となります。

( 2 )

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解答・解説

( 3 ) 下の図のように円の中心を O とし、OC を結びます。

△OAC は OA = OC の二等辺三角形となので ∠OCA = x です。

∠COD は、円周角のより 2x であることがわかります。

△COD は CO = CD の二等辺三角形なので ∠CDO = 2x となります。

次に∠ACB は直径の円周角なので 90° です。よって、∠OCD を x を使って表すと、

∠OCD = ( 90 + 27 – x ) = 117 – x となります。

３角形の内角の和は 180° であることから次の方程式が成り立ちます。

2x + 2x + ( 117 – x ) = 180

3x = 63

よって、x = 21° となります。

( 4 ) BC の中点をMとし、点 MAED で切り出したものが、下の図になります。

AM = MD = 3√3 cm になります。例えば、△ABC で考えて見ましょう。ヒントは 1: 2 : √3 です。

△MAD は MA = MD の二等辺三角形であることから、∠MEA = ∠MED = 90° であることがわかります。

次に三平方の定理より ME² =  AM² – AE² より

ME = 3√2 が求まります。

よって、△BCE を底面とし、高さ AE の三角錐の体積は、

△BCE の面積 : ( 6 × 3√2 ) / 2 = 9√2 cm²

高さAE ：3 cm

より、( 9√2 × 3 ) / 3 = 9√2 cm³

となります。

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問3

解答・解説

( 1 )

△ABF と △AGE において、

AB = AG ( 折り曲げただけ ) ・・・①

∠ABF = ∠AGE = 90° ( 長方形 ) ・・・②

次に、

∠BAF = 90 – ∠EAF

∠GAE = 90 – ∠EAF

であることから、

∠BAF = ∠GAE ・・・③

①、②、③ より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ABF ≡ △AGE

よって、BF = GE

( 2 )

BF の長さを求めます。BF = ED = x とおくと

BF² = AF² – AB² より 

x² = ( 9 – x )² – 6² を解くと、

x = 5 / 2 cm がわかります。

 △ADH ∽ FBH であり、AD = 9 cm, BF = ( 5 / 2 ) cm であることから、相似比は、18 : 5 であることがわかります。

AH : HF = 18 : 5 　・・・①

次に △BFI ≡ △DEI より、

EI : IF = 1 : 1　・・・②

であることがわかります。

 ①、②より、△EHI の面積を 1 として、それぞれの三角形の面積比は下の図のようになります。

△EHI = 1

△IFH =１

△AEH = 36 / 5

よって、求める面積比は、36 : 5 となります。

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問4

解答・解説

( 1 ) 点A, B の x 座標を曲線の式に代入すると、点A, B の座標が求まります。

点A ( -1, 1 / 2 )

点B ( 3, 9 / 2 )

この2点を通る直線の方程式を計算すると、

y = x + 3 / 2 

が求まります。

( 2 )

下の図のような四角形CAOB の面積を求めます。

AB と y 軸の交点を D としています。

点C の座標は点C ( -3, 9 / 2 ) であり、点D の座標は 点D ( 0, 3 / 2 ) です。

四角形CAOBの面積は、以下の 3つの三角形の面積の合計によって求められます。

1. BC を底辺とする △CBA の面積
2. DO を底辺とする △DOA の面積
3. DO を底辺とする △DOB の面積

計算はレッツトライ！

求める面積は 15 cm² となります。

( 3 )

△PAB と △POB の面積が等しくなるのは、OA // BP のときなので、直線 OA の傾きと直線 BP の傾きは等しい。

また、直線OA の傾きは ( – 1 / 2 ) で直線 BP は点B ( 3, 9 / 2 ) を通るので直線BP の式は、

BP : y = ( -1 / 2 ) x + 6 となります。

点P の座標を ( t, t² / 2 ) とすると、点P は直線BP 上にあるので、

t² / 2 = ( – t / 2 ) + 6

式を整理して因数分解すると、

( t + 4 ) ( t – 3 ) = 0, t < -1 より、

t = -4 となるので、求める点P の座標は、( -4, 8 ) となります。