例えば 1224 は 2の倍数かを考える場合には、下1桁の4が2の倍数であるかを確認します。4 は 2の倍数ですから、1224 は 2の倍数です。次に、1224 が 3の倍数であるかを確認します。実は、1224 が3の倍数であるかは各桁の和(1 + 2 + 2 + 4 = 9) が3の倍数であるかで倍数判定することができます。
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各桁の和が 3の倍数であれば、その数は 3の倍数
1224 の各桁の和(1 + 2 + 2 + 4 = 9) は 3の倍数なので、1224 は3の倍数であると言えることができます。ちなみに 1224 はクリスマスイブがら例として使用しました。
本日はカーナビまでメリークリスマスとか言い出しました
では、本当に各桁の和が 3の倍数であれば、その数は 3の倍数であると言えるのかを証明してみます。
証明
例えば 1234 は 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 の計算結果であることはわかりますよね。4 桁の数字に限って言えば
abcd = 1000a + 100b + 10c + d
のように表すことができます。
このとき、右辺を変形して、証明してみようと思います。
1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 99b + b + 9c + c + d
= 999a + 99b + 9c + a + b + c + d
= 3(333a + 33b + 3c) + a + b + c + d
3(333a + 33b + 3c) は3の倍数なので、 a + b + c + d が3の倍数であれば、abcd は 3 の倍数であるといえることができます。
ここでは4桁の数字についてのみの証明となりますが、桁数が増えていっても同様に3の倍数であることは言えますね。
ちょっと待ってください。上記の式をもう一度見てみましょう。
999a + 99b + 9c + a + b + c + d
は、次のように変形することもできます。
9(111a + 11b + c) + a + b + c + d
よって、同様に各桁の和が9の倍数であれば、abcd は9の倍数であると言うことがいえることもわかりました。
他の数の倍数かどうかの判定方法
ここまでで、ある数が、3および9の倍数であるかどうかの判定方法がわかりました。その他の数についての判定方法はどのようにすればよいでしょうか？
例えば、4の倍数であるかの場合は、3や9と同じように4で括って式を変形させて、括りきれなかった値が4の倍数であれば4の倍数であることがいえます。4の倍数である条件は、
1000a + 100b + 10c + d = 4(250a + 25b) + 10c + d
となりますので、下2桁 (10c + d) が 4の倍数であれば abcd は4の倍数であると言えることができます。または、
1000a + 100b + 10c + d = 4(250a + 25b + 2c) + 2c + d
のようにすることで、下2桁目を2倍した数と下1桁目の和 (2c + d) が4の倍数であれば4の倍数であるということもできますね。どちらでも良いですが、覚えやすいほうでよいと思います。
8の倍数についても4の倍数と同じような結果となりますので、やってみましょう。
おっさんより メリークリスマス