[ 数ⅢC ] 等比数列の極限とベルヌーイの不等式

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ここでは、初項および公比がともに r である数列の極限の証明を行っています。高校生レベルでの証明です。受験対策用の学習にも使用できます。レッツトライ!

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数列{ r}の極限

① r > 1 のとき lim r= ∞ ( n → ∞ )

② r = 1 のとき lim r= 1 ( n → ∞ )

③ |r| < 1 のとき  lim r= 0 ( n → ∞ )

④ r ≦ -1 のとき { rn } は振動する

※ { rn }の収束条件は -1 < r ≦ 1

 

証明

r > 1 のとき、r = 1 + h をおくと h > 0, n ≧ 2 のとき、

rn = ( 1 + h )n = nC0 + nC1h + nC2h2 + ・・・ + nCnh> 1 + nh ( nCk > 0, h > 0 より )

ここで、lim(1 + nh) = ∞ ( n → ∞ )

なので、lim rn = ∞ ( n → ∞ )

( 1 + h )> 1 + nh をベルヌーイの不等式といいます

 

r = 1 のとき、n の値に関係なく rn = 1 となります。よって、 lim r= 1 ( n → ∞ )

 

0 < r < 1 のとき、s = 1 / r とおくと  s > 1

従って、① より lim sn = ∞ ( n → ∞ )

よって、

lim rn = lim ( 1 / sn ) = 0 ( n → ∞ )

r = 0 のとき、n の値に関係なく rn = 0 なので、lim rn = 0 ( n → ∞ )

-1 < r < 0 のとき、0 < |r| < 1 であり、  |rn| = |r|n なので、

lim|rn| = lim|r|n = 0 ( n → ∞ )

ゆえに、lim r= 0 ( n → ∞ )

以上から、|r| < 1 のとき、lim r= 0 ( n → ∞ )

 

r = 1 のとき、n が偶数ならば r= 1, n が奇数ならば r= -1

よって、数列{ rn  } は振動する。

r < -1 のとき、

|r| > 1 であるので、① より | rn | → ∞

また、 rn の符号は交互に変わるので、数列{ rn  } は振動する。

以上より、r ≦ ‐1 のとき { rn  } は振動する

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