ここでは、初項および公比がともに r である数列の極限の証明を行っています。高校生レベルでの証明です。受験対策用の学習にも使用できます。レッツトライ!
スポンサーリンク
数列{ rn }の極限
① r > 1 のとき lim rn = ∞ ( n → ∞ )
② r = 1 のとき lim rn = 1 ( n → ∞ )
③ |r| < 1 のとき lim rn = 0 ( n → ∞ )
④ r ≦ -1 のとき { rn } は振動する
※ { rn }の収束条件は -1 < r ≦ 1
証明
①
r > 1 のとき、r = 1 + h をおくと h > 0, n ≧ 2 のとき、
rn = ( 1 + h )n = nC0 + nC1h + nC2h2 + ・・・ + nCnhn > 1 + nh ( nCk > 0, h > 0 より )
ここで、lim(1 + nh) = ∞ ( n → ∞ )
なので、lim rn = ∞ ( n → ∞ )
( 1 + h )n > 1 + nh をベルヌーイの不等式といいます
②
r = 1 のとき、n の値に関係なく rn = 1 となります。よって、 lim rn = 1 ( n → ∞ )
③
0 < r < 1 のとき、s = 1 / r とおくと s > 1
従って、① より lim sn = ∞ ( n → ∞ )
よって、
lim rn = lim ( 1 / sn ) = 0 ( n → ∞ )
r = 0 のとき、n の値に関係なく rn = 0 なので、lim rn = 0 ( n → ∞ )
-1 < r < 0 のとき、0 < |r| < 1 であり、 |rn| = |r|n なので、
lim|rn| = lim|r|n = 0 ( n → ∞ )
ゆえに、lim rn = 0 ( n → ∞ )
以上から、|r| < 1 のとき、lim rn = 0 ( n → ∞ )
④
r = 1 のとき、n が偶数ならば rn = 1, n が奇数ならば rn = -1
よって、数列{ rn } は振動する。
r < -1 のとき、
|r| > 1 であるので、① より | rn | → ∞
また、 rn の符号は交互に変わるので、数列{ rn } は振動する。
以上より、r ≦ ‐1 のとき { rn } は振動する。