[ 高校数学 ] 累乗数の 1の位と最高位の数 および桁数を求める

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ここでは、累乗数の1の位と最高位の数および桁数について考えてみようと思います。高校生であれば当たり前かもしれませんが、管理人は違います。ゆっくり考えていきたいと思います。ヤフー知恵袋で投稿されていましたが、何が書いてあるのかわかりませんでしたので整理していきます。また、未解決問題でもあったようですが、質問者さんのその後が気になります。

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問題

A = 1260 とするとき、

(1) A の一の位の数字を答えよ。
(2) A は何桁の整数か。
(3) A の最高位の数字を求めよ。
ただし,log102 = 0.3010,log103 = 0.4771とする.

(1) A の一の位の数字を答えよ

1の位の数字は必ず循環することはわかりますし、常に累乗する数字(12)の1の位のみに着目すれば良いことがわかります。

2n1の位の数
201
212
224
238
246
252
264

n ≧ 1 の条件においては、1の位の数字は 2(21) ⇒ 4(22) ⇒ 8(23) ⇒ 6(24) の規則で循環していることがわかります。 ここで、以下のように一般化して考えてみることにします。

n = 1, 5, 9,   ・・・ 4k – 3 ( k ≧ 1) 1の位は 2

n = 2, 6, 10, ・・・ 4k – 2 ( k ≧ 1)  1の位は 4

n = 3, 7, 11, ・・・ 4k – 1 ( k ≧ 1)  1の位は 8

n = 4, 8, 12, ・・・ 4k      ( k ≧ 1)  1の位は 6

260 = 24×15 となりますので、1の位は 6 であることがわかりました。

(2) A は何桁の整数か。

次は桁数を求めてみます。そもそも桁数は下表の数値になった場合に桁数が1つ上がることがわかります。

10n桁数
100 (1)1
101 (10)2
102 (100)3
103 (1000)4
104 (10000)5

このことから、103 ≦ N < 104 となる集合N 例えば 103.123 は4桁の数値であることがわかります。つまり、今回の問題だと、1260 が 10 の何乗であるかがわかれば、桁数がわかりことになります。

log101260 = 60 log1012

= 60 (2 log102 + log103)

= 60 (2 × 0.3010 + 0.4771) = 64.746

よって 1260 = 1064.746 です。

つまり、1064  1260  1065 であることから 65 桁であることがわかりました。

(3) A の最高位の数字を求めよ。

次に最高位の数字を求めてみますが、まずは最高位の数字はどのようなものになるのかを考えて見ます。例えば 3422 の場合は 3.422 × 103 であり、最高位の数字は 3 であり、4桁の数字です。つまり、今回の問題では、1260 の最初の数字がわかればよいことになります。

(2) で、1260 = 1064.746 であることがわかっていますので、分解してみます。

1064.746 = 100.746 × 1064 ですので 100.746 だけを考えればよいことがわかりました。

あとは、大体目星をつけて計算していくことになりますが、この問題では以下の常用対数を計算する必要があります。

  • log105 = log10(10 / 2) = 1 – log102 = 0.6990 より 100.6990 = 5
  • log106 = log102 + log103  = 0.7781 より 100.7781 = 6

このことから

100.6990 < 100.746  < 100.7781 

となりますので、問題の 1260 の最高位の数字は 5 であることがわかりました。最高位以外の数字は残念ながらわかりません。

ちょっと疲れました。なお、この問題については解き方を記憶しておくと良いですね。

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