[ 高校数学 ] x の3乗と y の3乗の和および差の因数分解は記憶すべし

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タイトルどおりですが、x3 + y3 と x3 – y3 の因数分解は暗記しておくことをお勧めします。都度計算していては時間もかかってしまいます。また、因数分解のみならず、色々な場面で活躍することも多いです。

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因数分解

記憶すべしとは言いましたが、万が一に備えての計算もやっておきましょう。細かい計算については端折りますので自分で計算してみてください。

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 となり、この式を変形します。

x3 – y3 = (x – y)3 + 3x2y – 3xy2   この式の右辺を整理します。

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)       この式の右辺を(x – y) で括ります。

(x – y)3 + 3xy(x – y) = (x – y){ (x – y)2 + 3xy }   ここで、中括弧{} 内を整理すると

(x – y) (x2 + xy + y2) となりますので、従って

x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) のように因数分解できることがわかります。

同じように、(x + y)3 を計算することで、x3 + y3 も因数分解できますので、レッツトライ。

記憶すべき変形公式

上記の式の変形については、高校数学では頻出ですので暗記しておくことがよいでしょう。幸い非常に覚えやすい形になりますのでそれほど記憶が難しいこともないかと思います。中学生で出てくる2次方程式の解の公式のほうがずっと記憶が難しいですね。

  • x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) 
  • x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) 

どのような分野の問題で活躍するか、例題を投稿しましたので、参考までにどうぞ。三角関数の問題です。

でも管理人は 3乗が出てくると なんだかぐったりします

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One thought on “[ 高校数学 ] x の3乗と y の3乗の和および差の因数分解は記憶すべし”

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