ここでは、命題について学んでみようと思います。
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命題と真偽
命題の真偽は、以下のことが成り立ちます。
命題「AならばB」（以下、A ⇒ B）が成り立つときは真、成り立たないときは偽であると言う。また、A ⇒ B が真のとき、条件Aを満たす要素の集合を p、条件Bを満たす要素の集合を q とすると、p ⊂ q が成り立つ
必要条件・十分条件
- 命題「p ⇒ q」 が真のとき、p は q の十分条件、q は p の必要条件
- 命題「p ⇔ q」 が真のとき、p は q (または q は p )の必要十分条件
否定
命題や条件 p の否定を p と表し、以下のことが成り立ちます。「ドモルガンの法則」と言われています。ドさんが発案しました。インド生まれのイングランド人のようです。
p または q ⇔ p かつ q
p かつ q ⇔ p または q
逆・裏・対偶
下図のような関係で、名前がつけられています。
なお、以下のことが成り立ちます。
- ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) が真のとき，その対偶 は真である
- ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) が真のとき，逆や裏は必ずしも真（正しい）とは限らない
- ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) とその対偶とは真偽が一致するので，対偶の真偽を示せば元の命題の真偽が示せる．
例えば、p ならば q であることを証明するには、「 q ではないならば p ではない」ということを証明することでもよい、ということを意味しています。
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