[ 中学数学 ] 円錐と扇形の面積を求める2つの公式

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ここでは、円錐の表面積を求める方法を考えます。読み終えるころには新たな公式も誕生していることでしょう。

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円錐とは、以下のように底面が円で、先がとんがった形です。これは知っていますよね。底面の半径をR、母線をLとしています。

円錐

円錐

では、上記の円錐の表面積を求めてみたいと思います。面積を求めるには、円錐を下図のように展開します。色の付いた部分の面積が円錐の面積となります。扇形の面積と円の面積の合計ですね。

円錐の展開図

円錐の展開図

まずは、上記からわかることを整理してみましょう。

扇形の弧の長さ底面の円の円周と等しく、2Rπ
大きな円(半径L)の円周2Lπ
大きな円(半径L)と扇形の面積比2Lπ(半径Lの円の円周) : 2Rπ(扇形の弧の長さ)

これらの情報を元に、扇形の表面積を求めて生きたいと思います。

扇形の面積 = 底面の円の面積 + 扇形の面積

= R × R × π + ( L × L × π ) × 2Rπ / 2Lπ

= R2 π + LRπ

これで、扇形の表面積を計算することができました。毎回このように計算してももちろんよいのですが、この計算結果から1つの公式を求めることができます。それは、

円錐の側面積 = LRπ

であるということです。このような公式が隠れていました。次回からはあっという間に計算できそうですね。

これで、計算が早くできるようになりますね

例題

下記のような円錐の側面積を求めよ。

円錐の側面積を求めよ

円錐の側面積を求めよ

解答

円錐の側面積を求める公式より、

円錐の側面積 = 母線 × 半径 × 円周率

= 8cm × 3cm × π = 24 π cm2

扇形の面積を求める公式を導出する

円錐の側面積 = LRπ で求めることができることがわかりましたが、この式を変形してみます。

式を変形

式を変形

小文字になってしまっていますが気にしないでください。理由はありあません。私のミスです。

ここで、2 r π は底面の直径であり、扇形の弧の長さです。つまり、扇形の弧の長さ ( L ) がわかれば、扇形の面積 ( S ) は、( 扇形の半径 ) × ( 扇形の弧の長さ ) / 2 で求めることができるということです。

扇形の面積を求める公式

扇形の面積を求める公式

 

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