[ 中学数学 ] 円錐と扇形の面積を求める２つの公式

ここでは、円錐の表面積を求める方法を考えます。読み終えるころには新たな公式も誕生していることでしょう。

円錐とは、以下のように底面が円で、先がとんがった形です。これは知っていますよね。底面の半径をR、母線をLとしています。

では、上記の円錐の表面積を求めてみたいと思います。面積を求めるには、円錐を下図のように展開します。色の付いた部分の面積が円錐の面積となります。扇形の面積と円の面積の合計ですね。

まずは、上記からわかることを整理してみましょう。

扇形の弧の長さ	底面の円の円周と等しく、2Rπ
大きな円(半径L)の円周	2Lπ
大きな円(半径L)と扇形の面積比	2Lπ(半径Lの円の円周) ： 2Rπ(扇形の弧の長さ)

これらの情報を元に、扇形の表面積を求めて生きたいと思います。

扇形の面積　＝　底面の円の面積　＋　扇形の面積

＝　R　×　R　×　π　＋　( L　×　L　×　π )　×　2Rπ　/　2Lπ

＝　R² π　＋　LRπ

これで、扇形の表面積を計算することができました。毎回このように計算してももちろんよいのですが、この計算結果から1つの公式を求めることができます。それは、

円錐の側面積　＝　LRπ

であるということです。このような公式が隠れていました。次回からはあっという間に計算できそうですね。

これで、計算が早くできるようになりますね

例題

下記のような円錐の側面積を求めよ。

解答

円錐の側面積を求める公式より、

円錐の側面積　＝　母線　×　半径　×　円周率

＝　8cm　×　3cm　×　π　＝　24 π cm²

扇形の面積を求める公式を導出する

円錐の側面積　＝　LRπ で求めることができることがわかりましたが、この式を変形してみます。

小文字になってしまっていますが気にしないでください。理由はありあません。私のミスです。

ここで、2 r π は底面の直径であり、扇形の弧の長さです。つまり、扇形の弧の長さ ( L ) がわかれば、扇形の面積 ( S ) は、( 扇形の半径 ) × ( 扇形の弧の長さ ) / 2 で求めることができるということです。