[ 中学数学 ] n桁の m進数で表現できる数の最大値と個数

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ここでは、10進数や2進数などの桁数と数の個数や最大値の関係について掲載しています。10進、2進数から考えて、最終的に汎用的な m進数の形でその関係性を式で表現してみます。

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10進数で表現できる桁数と最大値

10進数の場合、桁数を増やしていくと、どれだけの範囲の数と種類を表現できるようになっているのかを下表にまとめてみます。日常で使用していることもあり、わかりやすいですね。

桁数最小値最大値種類
10910種類
2099100種類
309991000種類
40999910000種類
n010n-110n種類

2進数で表現できる桁数と最大値

次に2進数の場合の桁数と最大値の関係を確認してみます。

桁数最小値最大値種類
10(1)2 = (1)102種類
20(11)2 = (3)104種類
30(111)2 = (7)108種類
40(1111)2 = (15)1016種類
n0(111・・11)2※ = (2n-1)102n種類

※1がn個並んだ数

10進数と2進数以外にも汎用的に適用する

実はこの関係は、何進数であろうと当てはまります。例えば16進数の4桁で表現できる最大値は(FFFF)16となりますが、10進数では65535(=164)であります。

つまり、n桁のm進数で表現できる最小値は 0、最大値は mn-1(10進数での表記)である、mn種類(個)の数値を表現できるということがわかります。

片手で数を数える

例えば、片手で指を折って数を数える場合、片手では0~5までしか数えないでしょう。でもやる気になれば、0~31まで数えることができることを意味しています。わかりますか?片手を5桁の2進数だと思って指折り数えていきます。

なお、両手では10桁の2進数だと考えて「0~1023」まで数えることができますよ。但し、時間と手の器用さが要求されますが・・・がんばって試してみてください。パズドラよりも面白いかもです。

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