0.9999・・・・・・・のように小数点以下がある数字の繰り返しになっているような小数を循環小数といいます。今回の例の場合では 9が繰り返しています。また、0.765765765765・・・・・・・・・・・・の場合ですと、765の3桁の数値の繰り返しになっています。
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循環小数の表現方法
循環小数は繰り返しの最初と最後の数値の上に点を付けて以下のように記述します。
循環小数の書き方
循環小数を分数であらわす
では、循環小数を分数で表してみます。
0.999999999・・・＝A ・・・①
として、両辺を10倍します。
9.999999999・・・＝10A ・・・②
②から①を引くと、小数点がなくなって
9 ＝ 9A
従って
A ＝ 1
となり、「 0.9999・・・・=1 の証明 」 終わりです。おっと、失礼しました。証明しようとしたのではなくて、これで循環小数を分数で表すことができました。今回はたまたま整数になっただけと考えてください。
①から②へと10倍したことによって、①の最後の9が一つ少なくなっているはずだ。とは言っても最後がない。9はずっと続くはずだ。従って、引き算することで小数点部分はなくなることに違和感ありのときは、あなたが新しい何かを発見・発明してください。期待しております。
なお、0.765765765765・・・・・の場合は、両辺を1000倍して計算します。小数点以下が同じ並びになるように両辺を掛け算します。
無限等比数列の和として考える
高校生になったら履修すると思いますが、ちょっとだけ本サイトの範疇を逸脱します。
0.99999999・・・を以下のように分解すると
0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋・・・・
初項：0.9 公比：0.1の等比数列の和であると見ることもできます。
初項(a1)、公比(r)が、－１＜ r ＜１の範囲においては、等比数列の和は以下の公式で求めることができます。
無限等比数列の和を求める公式
値を代入すると、分母も分子もあっさりと0.9になることがわかります。すなわち１です。