[ 高校入試過去問解説 ] 平成26年 ( 2014年 ) 北海道 数学

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ここでは、平成26年北海道高校入試数学の過去問解説を行っています。

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解答・解説

(1) 5 – 7 = -2

(2) -6 + 9 ÷ 1 / 4 = -6 + 9 × 4 = -6 + 36 = 30

(3) 3√2 × √8 = 3√2 × 2√2 = 3 × 2 × √2 × √2 = 6 × 2 = 12


解答・解説

2 ( 2a – 3b ) + ( a – 5b ) = 4a – 6b + a – 5b = 5a – 11b


解答・解説

点A, B から等距離となるようにコンパスで交点を作図して結びます。


解答・解説

y = a / x は上の図より、( x, y ) = ( 2, 2 ) を通るので反比例の式に代入します。

2 = a / 2 より

a = 4


解答・解説

y = 4x – 1 を 2x + y = 5 に代入します。

2x + 4x – 1 = 5

6x = 6

x = 1

y = 4x – 1 に x = 1 を代入します。

y = 4 × 1 – 1 = 4 – 1 = 3

よって、( x, y ) = ( 1, 3 )


解の公式を使います。

解の公式

解の公式

解の公式より、

x = ( -5 ± √21 ) / 2


解答・解説

2枚のカードの数字のわが偶数になるのは、2枚とも奇数、または2枚とも偶数のときになります。組み合わせは下記の通りとなります。

( 1, 3 ), ( 1, 5 ), ( 3, 5 ), ( 2, 4 ) の4通り


解答・解説

( ア ) 5 × 5 × π = 25π

( イ ) 底面積 × 高さ = 25π × 12 = 300π

( ウ ) 底面の円周 × 高さ = 10π × 12 = 120π

( エ ) 側面積 + 底面 × 2 = 120π + 25π × 2 = 170π


解答・解説

( x + 10 ) / 3 = ( x – 6 ) / 2

両辺を 6倍します。

2( x + 10 ) = 3( x – 6 )

2x + 20 = 3x – 18

x = 38

解答・解説

子供の人数を x とすると、

全員に3個ずつ配ると 10個足りず、2個ずつ配ると6個あまることから、

3x – 10 = 2x + 6

が成立します。

よって、子供の人数 x について解くと

x = 16 となります。


解答・解説

累積度数と相対度数を下表にまとめます。

  • 度数分布表
階級度数累積度数相対度数
0 以上 ~ 5 未満   2 2 2 / 60 = 0.0333
5 以上 ~ 10 未満 11 13 11 / 60 = 0.1833
10 以上 ~ 15 未満 18 31 18 / 60 = 0.3
15 以上 ~ 20 未満   7 38 7 / 60 = 0.1166
20 以上 ~ 25 未満   9 47 9 / 60 = 0.15
25 以上 ~ 30 未満   8 55 8 / 60 = 0.1333
30 以上 ~ 35 未満   5 60 5 / 60 = 0.0833
60 – –

問1 は、最も度数の大きな階級の相対度数なので、上の表より 度数18 の階級の相対度数なので 0.3 となります。

問2 の解答例

通学時間が15分未満の生徒が 31 人いるから。


解答・解説

問1

( x, y ) = ( 2, 4 ) なので、y = ax2 に代入すると、

4 = a × 2 × 2

よって、a = 1 

問2

a = 2 , x = 2 を y = ax2 に代入すると、

y = 2 × 2 × 2 = 8 がわかります。

( x, y ) = ( 2, 8 ) を通る直線 y = 2x + b は

8 = 2 × 2 + b より

b = 4

また、直線の式は y = 2x + 4 となります。

問3

問題文より、点B, C をグラフに書き込みます。

公開されている解答例とは異なる解法を使用しています。

点A と点B は y 軸に対して対称なので AC = BC は明らかです。また、直角となりうるのは∠ ACB のみです。

∠ACB = 90° なので、三平方の定理より

AB2 = AC2 + BC2 ・・・①

また、

点A ( 2, 4a ) 点B ( -2, 4a ) 点C ( 0, -1 )

より、

AB2 = ( -2 – 2 )2 = 16
AC2  = BC2 = ( -2 – 0 )2 + ( 4a + 1 )2 = ( 4a + 1 )2 + 4

A =  ( 4a + 1 )2 とおいて、式①に代入します。

16 = A + 4 + A + 4

2A = 8

A = 4 が求まりますので、

A = ( 4a + 1 )2 = 4

また、a > 0 より、

4a + 1 = 2

4a = 1

a = 1 / 4


解答・解説

問1

∠ADC = 80° から ∠ADB = 100° となります。また、△ABD は DA = DB の二等辺三角形であることから、∠DAB = ∠DBA であることから、下の図のように角度が求まります。

よって、∠BAD = 40° となります。

問2

問題文の通り、下の図に書き込むことからスタートです。

△ADC において、内角の和 = 180°より、∠DAC = 180 – ( 80 + 40 ) = 60°

△BDE において、内角の和 = 180°より、∠BED = 180 – ( 100 + 20 ) = 60°

また、対頂角より ∠BED = ∠AEF = 60°

三角形 ABF において、内角の和 = 180° より、∠AFE = 180 – ( 20 + 40 + 60 ) = 60°

以上から、△AFE は正三角形であることがわかります。

よって、AE = AF ( = EF )


学校裁量問題

解答・解説

問1 (1) 

大した数でもありませんので、適当にアタリをつけて解答をだすこともできそうです。悩んだ場合には力技で回答してもよいでしょう。

(ア)、(イ)をそれぞれ、a, b とおくと、

ax + by = 10 ・・・①
ax – by = 2 ・・・②

①+②

2ax = 12
ax = 12
x = 12 / a

a は 1, 3, 5 であり、12 / a は整数であるので、

a = 1, x = 12 ・・・③
a = 3, x = 4  ・・・④

となります。

次に、①-②

2by = 8
by = 4
y = 4 / b

b = 2, 4, 6 かつ 整数なので

b = 2, y = 2 ・・・⑤
b = 4, y = 1 ・・・⑥

③、④、⑤、⑥ の組み合わせより、

( a, b ) = ( 1, 2 ), ( 1, 4 ), ( 3, 2 ), ( 3, 4 )

となります。

問1 (2)

この問題は、かなり引っ掛けがきつい(というよりは、ずるい)問題です。入試問題としては首を捻ります。

①、②をそれぞれ、x = 0 を代入し、A、B の y 座標を求めます。

A (x , y ) = ( 0, 10 / b )

B ( x, y ) = ( 0, -( 2 / b ) )

より、辺AB = ( 10 / b ) – ( – ( 2 / b ) ) = 12 / b

b = 2, 4, 6 のいずれかなので、もっとも AB が小さくなるのは b = 6 の時で、

AB = 2  ・・・(ウ)

①、② の連立方程式を解いて、交点の x 座標 を求めると、

x = 6 / a となることから

a = 1, 3, 5 の中で最も x が小さくなるのは

a = 5 の時で、x 座標は 6 / 5 (イ) となります。

円の面積は、底辺 × 高さ × ( 1 / 2 ) より、

2 × ( 6 / 5 ) × ( 6 / 5 ) = 6 / 5 (ウ) となります。


解答・解説

ここでは、解答例のみの掲載となります。


解答・解説

面積ならば相似です。また相似比が 1: 2 であれば、面積比は 1: 4 です。これは、覚えておきましょう。ちなみに体積比は 1 : 9 になります。

△AOF と △ AGB に着目します。

∠AOF = ∠ AGB = 90° ・・・①

∠OAF = ∠GAB は共通 ・・・②

①、② より、△AOF ∽ △ AGB

OA = OB = 1 とすると、OF = 1 / 2

三平方の定理より

AF2 = OF2 + OA2 = ( 1 / 2 )2 + 12 = 5 / 4

AF = √5 / 2 となります。

△AOF ∽ △ AGB の相似比は

AF : AB = ( √5 / 2 ) : 2 = √5 : 4

となります。

△AOF の面積 : △AGB の面積 = ( √5 )2 + 42 = 5 : 16 から

10 : x = 5 : 16

5x = 160

x = 32

よって、

△AGB の面積は、32 cm2 です。

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