[ 中学数学 ] 2次方程式の解の公式を導出する ( 平方完成 )

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ここでは、中学生で学習する 2 次方程式の解の公式を導出してみようと思います。公式を覚えて問題を解くのはもちろん間違いではありませんが、必ずその公式を導いた人がいます。紀元前には、世界各地でその解法は既知だったようです。

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解の公式

まずは、解の公式です。覚えていますよね?

解の公式

解の公式

ここでは、解の公式を自分で導出できるようになることが目標です。

解の公式を導出する基本的な考え方

まずは、どのような考え方をもとに解の公式を求めるかを示します。

解の公式を導出する考え方

解の公式を導出する考え方

ここでは、この考え方を基準に導出してみようと思います。なお、( px + q )の形に変形することを平方完成と言います。

2次方程式の解の公式を導出する

では、平方完成目指していきましょう。

解の公式を導出する平方完成の計算式

解の公式を導出する平方完成の計算式

ここまできたら、もう少しでいつも目にしている解の公式を導けます。

これで、2次方程式の解の公式を導出することができました。

解の公式からわかること

解の公式を導出することができましたが、この結果から以下のことがわかります。

  • ある数を 0 で割ることはできないので a ≠ 0
  • 根号の中は 0 以上である必要があるので b2-4ac ≧ 0

なお、2次方程式の解の個数は、下表の通りになります。

条件解の個数
b2-4ac > 0実数解が2つ
b2-4ac = 0実数解が1つ
b2-4ac < 0実数解なし
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